Уточнений розрахунок на вимушені коливання круглої транверсально ізотропної плити

Abstract

Здійснено розрахунок вимушених коливань круглої поперечно-ізотропної пластини, що лежить на пружній основі Вінклера та шарнірно закріплена вздовж краю. У статті використано залежності для напружень від сил та моментів у формі кубічної параболи від поперечної координати. Також використано систему рівнянь рівноваги в циліндричних координатах, яка включає члени, що описують динаміку вимушених коливань транстропної пластини. До рівнянь додано початкові та граничні умови, які є більш природними порівняно з тими, що враховують лише поперечне переміщення та не враховують поперечне стиснення. Зокрема, гранична умова для вертикального переміщення забезпечує реальну опору пластини вздовж її нижнього краю. Отримані розрахункові рівняння згину пластини містять поправки, що враховують деформації поперечного зсуву та стиснення, а також поперечні нормальні напруження та інерцію. Ці поправки потенційно дозволять точніше дослідити їх вплив на характер та величину вищих частот коливань. До диференціального рівняння згину застосовано інтегральне перетворення Ганкеля, ядром якого є власна функція, через яку записуються інтегральні перетворення прогину та динамічного навантаження. Такі представлення дозволяють отримати трансцендентне рівняння для визначення частот власних коливань, яке виражається у вигляді залежностей від функцій Бесселя. В результаті отримуємо характеристичне рівняння та його розв'язки, що включають частоти вимушених та вільних коливань. Як часткові випадки можна отримати залежності для теорій "зсуву", а також класичної теорії згину тонкої пластини Кірхгофа. Формули для частот включають як фізичні характеристики матеріалу пластини, так і характеристики пружного базису Вінклера.The calculation of the forced oscillations of a round transversely isotropic plate, which lies on the elastic Winkler bas is and is hinged along the edge, is calculated. The dependences for stresses due to forces and moments in the form of a cubic parabola on the transverse coordinate are used in the article. A system of equilibrium equations in cylindrical coordinates is also used, which includes terms that describe the dynamics of forced oscillations of the transtropic plate. The initial and boundary conditio ns are added to the equations, which are more natural in comparison with those that take into account only the transverse displacement and do not take into account the transverse compression. In particular, the boundary condition for vertical movement prov ides real support of the plate along its lower edge. The obtained calculated equations of bending of the plate include amendments to take into account the deformations of the transverse shear and compression, as well as the transverse normal stress and ine rtia. These amendments will potentially allow a more accurate study of their impact on the nature and magnitude of higher fluctuation frequencies. The Hankel integral transformation is applied to the differential bending equation, the core of which is its own function, through which the integral transformations of deflection and dynamic loading are written. Such representations allow us to obtain a transcendental equation for determining the frequencies of natural oscillations, which is expressed as depende nces on Bessel functions. As a result, we obtain the characteristic equation and its solutions, which include the frequencies of forced and free oscillations. As partial cases, one can obtain dependences for "shear" theories, as well as the classical theor y of Kirchhoff's thin plate bending. The formulas for the frequencies include both the physical characteristics of the plate material and the characteristics of the elastic Winkler basis.